Kolmogorov's Axioms, DeMorgan's Laws

| Kolmogorov's Axioms of Probability 

• (1) $\mathsf{P(\Omega)=1}$ 
• (2) $\mathsf{P(A)\geq 0}$, if $\mathsf{A \in \Omega}$ 
• (3) $\mathsf{A_{1}, A_{2}, \cdots \Rightarrow P(\cup_{k=1}^{\infty} A_{k})= \sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})}$ 

Example) Show that $\mathsf{P(\varnothing)=0}$ 
Let A be an event, then $A=A\cup \varnothing \cup \varnothing \cdots$, as A and $\varnothing$ are disjointed! 
$\rightarrow P(A)=P(A \cup \varnothing \cup \varnothing \cdots) = P(A)+ P(\varnothing)+ \cdots$ (by Axiom 3) $\therefore P(\varnothing)=0$ 



| DeMorgan's Laws 

• $(\mathsf{\bigcup_{i} A_{i})^c =\bigcap_{i} A_{i}^c}$, $\mathsf {(\bigcap_{i} A_{i})^c=\bigcup_{i} A_{i}^c}$

        Proof 
        LHS $\rightarrow$ RHS  
         $\mathsf{(\bigcup_{i} A_{i})^c}$ occurs $\rightarrow \mathsf {(\bigcup_{i} A_{i})}$ does NOT occur $\rightarrow$ None of the $\mathsf {A_{i}}$ occurs $\rightarrow$ All $\mathsf {A_{i}^c}$ occur 
        $\mathsf {\therefore \bigcap_{i} A_{i}^c}$ occurs! 

        RHS $\rightarrow$ LHS
         $\mathsf{\bigcap_{i} A_{i}}$ occurs $\rightarrow$ All $\mathsf{A_{1}^c, A_{2}^c...}$ occur $\rightarrow$ None of the A's occurs $\rightarrow$ $\mathsf{\bigcup A_{i}}$  does NOT occur 
         $\mathsf {\therefore (\bigcup A_{i})^c}$ occurs